舞蹈链算法（Dancing links）实例讲解

前面的文字介绍了舞蹈链，这里就不详细描述什么是舞蹈链了，舞蹈链（Dancing links）是一种数据结构，可以用来实现X算法，以解决精确覆盖问题。本篇的内容主要把舞蹈链Dancing links应用于实际问题，通过实践才能帮助大家更好的理解，片面的了解理论知识，最终不能落到实处，也就没有意义了。

当然，把Dancing links应用于实际问题时，只有一个难点，就是如何把具体的问题转换为可以精确覆盖的01矩阵模型，一旦完成了这个步后，直接套用模板就可以解决问题了。

应用之一：伤脑筋十二块               

伤脑筋十二块是Dancing links精确覆盖的典型应用，理解起来最容易      

图1：12片5格骨牌的拼图

题目描述：         

给你12个如上图的5格骨牌，如何让程序拼出如上的“口”字图形。          

上图是题目的一个答案，你知道程序如何得到这个答案的吗？没错，就是用Dancing links的精确覆盖。        

我们想象一个有72列的矩阵，其中12列是12个骨牌，剩下60列是60个非中心部分的格子。         

所有可能的行来代表在一块骨牌在棋盘上得放置方案；每行有一些“1”，用来标识被覆盖的格子，5个1标识一个骨牌放置的位置（恰有1568个这样的行）             

我们将最前面的12列命名为F,I,L,P,N,T,U,V,W,X,Y,Z,并且我们可以用两个数字i,j给矩阵中对应棋盘上的第i行第j列格子的那一列命名。通过给出那些出现了“1”的列的名字，可以很方便地表示每一行。        

例如，图2就是与下面12行的对应的精确覆盖。            

1568个行指的是12个骨牌可放置方案的总和，比如长条骨牌I共有64种放置方案，1568中就包含了这64种                              这1568行中，每行都有6个1，分布在72个列中                                 

这个矩阵的构造思路是：                                  

首先找约束关系，这里只有两个约束关系，                              

（1）12个骨牌，每种只有1个；                             

（2）60个空格中，一个位置只能放一种骨牌（否则就要重叠着放了）；                            

因为第一个约束关系，有了12个列来区分骨牌种类，因为第二个约束关系，有了60个选5个来表示骨牌放置 。

应用之二：数独问题 sudoku           

解数独，生成数独，都可以使用精确覆盖，要把数独问题构造成01矩阵还是有一定的难度。

首先找约束关系，这里只有四个约束关系，

(1)81个格子中每个格子只能放一个数字  

(2)每一行的数字不能重复      

(3)每一列的数字不能重复      

(4)每一九宫内的数字不能重复

四个约束关系中，每个约束对应一个列域，对于第二个约束关系，数独中共有9行，每行可以填9个不同的数字；

因此第二个列域，共有9* 9，81个列，依此类推，数独问题共有列324个；

由于81个格子，每个格子都最多有9种选择，所以行最多有81*9=729行；

这样01矩阵的每行都有4个1，第一个1分布在1到81列，第二个1分布在82到162列，第三个1分布在163到243列；

最后一个1分布在其余列区域。 

思考：为什么不能这样构造01矩阵，用5个1，第一个1表示格子序号，有81个列，第二个1表示数字，从1到9有9个列，第三个1表示行号，有9行，第四个1表示列号也有9个，第五个1表示九宫格序号，也有9个，这样共有117列。            

为了便于理解，举个例子             

9,2,0,0,0,0,0,0,0,        

5,0,0,8,7,0,0,0,0,        

0,3,8,0,9,1,0,0,0,        

0,5,2,9,3,0,1,6,0,        

0,9,0,0,0,0,0,3,0,        

0,7,3,0,6,4,9,8,0,        

0,0,0,4,1,0,2,5,0,        

0,0,0,0,5,3,0,0,1,        

0,0,0,0,0,0,0,7,3         

如上数独有空格40个，已知格子41个，把这个数独构造成01矩阵，矩阵的行有40*9+41共401行。

对于第一个数字9，在1到81列的第一列，在82到162列的第9个，即90列，在163列到243列的第9个，在244到324列的第9个各占一个1 ；

对于第三个数字0，由于有9个选择，所以在构造01矩阵时，要向矩阵插入9个行，来表示各种可能；

对于第四个数字8，它在二行四列，把这个数字写入dancing link的网状数据结构时，需要新增四个节点，这四个节点都在同一行，它们的列序号分别为13， 81 + 9 + 8 - 1，81 + 81 + 3 * 9 + 8 - 1，81 + 81 + 81 + 9  + 8 - 1，  序号是从0开始的，所有要减去一。

现在假设，2行6列的空格是数字8，那么这个数字也会对应四个节点，列序号分别为15，81 + 9 + 8 - 1， 81 + 81 + 5 * 9 + 8 - 1， 81 + 81 + 81 + 9 + 8 - 1，

可以看到， 这两个8的行域，九宫格域都是相同的，表示这两个数字的行和九宫格都相冲了，四个列域，只要有一个相冲，两条记录就不能共存。这两个8显然不能共存。

数独还有一个变种，对角线数独，两条对角线的数字也不能重复，这时构造01矩阵模型时，就需要额外增加两个列域，左对角线域，右对角线域。增加的两个列域都只有9列，

对于1行1列的数字，会在01矩阵模型中对应5个节点，

对于2行3列的数字，由于不位于两条对角线上，会在01矩阵模型中只对应4个节点， 

对于5行5列的数字，恰好在两条对角线的交汇处，会在01矩阵模型中对应6个节点

对于数独的生成             

总体思路是一行一行的生成，第一行可以用一个随机的1到9的排列，接下来的8行，每行都要用dancinglink求解可行的排序             

（1）先对1到9这9个数进行随机排列，把这个排列作为数独终盘布局的第一行             

（2）自己写函数筛选出下一行，每个格子可以填写的数字集合，筛选时不用考虑行冲突        

比如对于排列5,9,7,4,2,6,8,3,1             

筛选结果如下：123468,123468,123468,135789,135789,135789,245679,245679,245679  

表示对于下一行的1,2,3列，可以选择的数字集合有1,2,3,4,6,8.           

下一行的4,5,6列，可以选择的数字集合有1,3,5,7,8,9       

下一行的7,8,9列，可以选择的数字集合有2,4,5,6,7,9       

这时，构造01矩阵，就只有2个约束关系           

（1）对于下一行的9个格子，每个格子只能放一个数字    

（2）对于下一行的9个格子中的数字，每个数字都不能重复 

因为第3个和4个约束，已经在筛选时考虑进去，这里不需再多此一举          

这时的01矩阵，列有9+ 9=18个，行有6* 9 = 54行（6+6+6+6+6+6+6+6+6）。

应用之三：N皇后         

N皇后问题也可以转换为Dancing links的精确覆盖问题，这里只讲如何把n皇后问题转换为01矩阵，首先有四个约束关系

（1）所有皇后不能在同一行       

（2）所有皇后不能在同一列       

（3）所有皇后不能在同一左斜线             

（4）所有皇后不能在同一右斜线             

为了便于理解，举个例子：n=8时，有8行,8列，15个左斜线，15个右斜线（2*n-1），这样构造的矩阵有46个列，8*8=64个行，矩阵的每行都有4个1，分别分布在行域，列域，左斜线域，右斜线域，在编程求解这个问题时，需要做一点变通，因为左斜线域，右斜线域的列不可能被全部覆盖，因此只需行域和列域被完全覆盖就算找到问题的一个解了。

附：

dancing LInks 求解数独的C++代码

#include<iostream>
#include<string.h>
 
using namespace std;
 
 
struct Node 
{
	Node *up;
	Node *down;
	Node *left;
	Node *right;
	Node *colRoot; //列首
	int row; //所在行
	int sum; //此列节点总数
};
 
#define R 729
#define C 324
 
 
class Dlx
{
public:
	Node *nodes,*row,*col,*head;//可用节点，行首，列首，总头节点
	int rowNum,colNum,nodeCount;//行数，列数,总节点数
	int *result,resultCount;//结果,结果行数
 
	Dlx()
	{
		nodes=new Node[R*C];//直接用数组竟然运行不起，栈溢出了，还得放在堆里
		row=new Node[R];
		col=new Node[C+1];
		result=new int[R];
	}
	~Dlx()
	{
		delete []nodes;
		delete []row;
		delete []col;
		delete []result;
 
	}
	void init(int r,int c);//初始化
	void cover(Node *t);//覆盖一列
	void uncover(Node *t);//取消覆盖
	bool solove(int k=0);//搜索出结果
	void addNode(int r,int c);//添加一个节点
};
 
 
void Dlx::init(int r,int c)
{
	int i;
	
	rowNum=r;
	colNum=c;
	//将各列连起来,col[colNum]为总头节点
	for(i=0;i<=colNum;i++)
	{
		col[i].up=col[i].down=col+i;
		col[i].left=col + (i+colNum)%(1+colNum);
		col[i].right=col + (i+1)%(1+colNum);
		col[i].sum=0;
	}
	head=col+colNum;
 
	//将各行节点数清零
	for(i=0;i<rowNum;i++)
	{
		row[i].up=row[i].down=row[i].left=row[i].right=row[i].colRoot=row+i;
	}
	
	nodeCount=0;//总节点数清零
}
 
void Dlx::addNode(int r,int c)
{
	nodes[nodeCount].up=col[c].up;
	nodes[nodeCount].down=col+c;
	nodes[nodeCount].left=row[r].left;
	nodes[nodeCount].right=row+r;
	nodes[nodeCount].row=r;
	nodes[nodeCount].colRoot=col+c;
	col[c].up=col[c].up->down=row[r].left=row[r].left->right=nodes+nodeCount++;	
	col[c].sum++;
}
 
 
void Dlx::cover(Node *t)
{
	Node *p,*q;
	t->left->right=t->right;
	t->right->left=t->left;
	for(p=t->down;p!=t;p=p->down)
	{
		for(q=p->right;q!=p;q=q->right)
		{
			q->up->down=q->down;
			q->down->up=q->up;
			q->colRoot->sum--;
		}
	}	
}
 
void Dlx::uncover(Node *t)
{
	Node *p,*q;
	for(p=t->up;p!=t;p=p->up)
	{
		for(q=p->left;q!=p;q=q->left)
		{
			q->up->down=q->down->up=q;
			q->colRoot->sum++;
		}
	}
	t->left->right=t->right->left=t;
}
 
bool Dlx::solove(int k)
{
	//是否还有未覆盖的列
	if(head->right==head)
	{
		//记录完成覆盖所用行数
		resultCount=k;
		return true;
	}
	
	Node *pMin,*p,*q;
	//找到节点数最少的一列,并覆盖
	for(pMin=head->right,p=pMin->right;p!=head;p=p->right)
	{
		if(pMin->sum>p->sum)
			pMin=p;
	}
	cover(pMin);
	
 
	for(p=pMin->down;p!=pMin;p=p->down)
	{
		result[k]=p->row;
		//选定此列上的一个节点，将此节点所在行上所有节点的对应列进行覆盖
		for(q=p->right;q!=p;q=q->right)
			cover(q->colRoot);
		if(solove(k+1))
			return true;
		//如果不能成功，则取消覆盖
		for(q=p->left;q!=p;q=q->left)
			uncover(q->colRoot);
	}
 
	uncover(pMin);
	return false;
}
int getRowIndex(int rowNum)
{
	int num = rowNum%9;
	int rowIndex = rowNum / 81;
	return 81 + rowIndex*9 + num;
}
int getColIndex(int rowNum)
{
	int num = rowNum%9;
	int index = rowNum/9;	//位置
	int colIndex = index%9;
	return 162 + colIndex*9+num;
}
int getSquareIndex(int rowNum)
{
	int num = rowNum%9;
	int index = rowNum/9;	//位置
	int rowIndex = index / 9;
	int colIndex = index%9;
	int squareIndex = int(rowIndex/3)*3 + colIndex/3;
	return 243 + squareIndex*9+num;
}
int main3()
{
	int i,j;
	int node4=0;
	char str[82];
	Dlx dlx;
	
	//cin>>n;
	dlx.init(729,324);
	//for(i=0;i<9;i++)
	//{
	//	cin>> (str+i*9);
	//}
	//......52..8.4......3...9...5.1...6..2..7........3.....6...1..........7.4.......3.
	const char *input = ".2738..1..1...6735.......293.5692.8...........6.1745.364.......9518...7..8..6534.";
	strcpy(str,input);
	for(i=0;i<729;i++)
	{
		//cout << "row=>" << i << "\tcol=> 位置" << i/9 <<"\t行"<<81+i/9/9*9+i%9<<"\t列"<<162+i/9%9*9+i%9<<"\t块"<< 243+(i/9/9/3*3+i/9%9/3)*9+i%9;
		//cout << "row=>" << i << "\tcol=> 位置" << i/9 <<"\t行"<<getRowIndex(i)<<"\t列"<<getColIndex(i)<<"\t块"<<getSquareIndex(i);
		if(str[i/9]=='.' || str[i/9]-'1'==i%9)
		{
			node4++;
			int rowIndex = i;
			int colIndex = i/9;
			dlx.addNode(rowIndex,colIndex);//位置冲突
 
			dlx.addNode(rowIndex,getRowIndex(i));//行冲突
 
			dlx.addNode(rowIndex,getColIndex(i));//列冲突
 
			dlx.addNode(rowIndex,getSquareIndex(i));//块冲突
		//	cout << "\t<=";
		}
		//cout << endl;
	}
	if(dlx.solove())
	{
		//结果存到字符串中
		for(i=0;i<81;i++)
		{
			j=dlx.result[i];
			str[j/9]='1'+j%9;
		}
		//输出字符串
		for(i=0;i<9;i++)
		{
			for(j=0;j<9;j++)
				cout<<str[i*9+j];
			cout<<endl;
		}
	}
	
	return 0;
}