差分的理解与应用

说到差分，差分是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。差分，一般在大数据里用在以时间为统计维度的分析中，其实就是下一个数值 ，减去上一个数值 。当间距相等时，用下一个数值，减去上一个数值 ，就叫“一阶差分”，做两次相同的动作，即再在一阶差分的基础上用后一个数值再减上一个数值一次，就叫“二阶差分"。

本篇我们可以通过代码实例进行分析和理解。

一、差分

差分是求前缀和的逆操作，类似于数学中的求导和积分,对于原数组a[n],构造出一个数组b[n],使a[n]为b[n]的前缀和。一般用于快速对整个数组进行操作，比如对将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c。使用暴力方法的话，时间复杂至少为O(n)，而使用差分算法可以将时间复杂度降低到O(1)。

二、差分的介绍与运用

（1）一维差分

创建一数组b，使得数组a为数组b的前缀和，数组b为数组a的差分

构造方法：b[i] = a[i] - a[i - 1]

此处使用了一个虚拟的构造方式（在数组一个位置加上一个数，那么在它的下一个位置减去这一数）

应用：对于a数组的任意区间[l, r]，令其加上一个数，而不改变其它值

b[l] += c, b[r + 1] -= c

差分操作和前缀和一样数组下标都从1开始。

b[l]+c后，l后面的数组都会加c。r后面的数据也会被改变，要改回来就得b[r+1]-c

模板题如下:

输入一个长度为 n 的整数序列。接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,

1≤l≤r≤n,

−1000≤c≤1000,

−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3

1 2 2 1 2 1

1 3 1

3 5 1

1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

代码实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int a[N],b[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )cin>>a[i];

    for (int j = 1; j <= n; j ++ )
    {
        b[j]=a[j]-a[j-1];
    }
    while (m -- )
    {
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        b[l]=b[l]+c;
        b[r+1]=b[r+1]-c;
    }
    int sum=0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        
        sum=sum+b[i];
    cout<<sum<<" ";
    }
    return 0;
}

（2）二维差分

公式：b[i][j] += c, b[i + 1][j] -= c, b[i][j + 1] -= c, b[i + 1][j + 1] += c

每次对b数组执行以上操作，等价于：

for(int i=x1;i<=x2;i++)
  for(int j=y1;j<=y2;j++)
    a[i][j]+=c;

模板题如下

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000,

1≤q≤100000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤c≤1000,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3

1 2 2 1

3 2 2 1

1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 3 2 3 2

3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1

4 3 4 1

2 2 2 2

代码实现如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);      //构建差分数组
        }
    }
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  //二维前缀和
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
           cout<<b[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}