复数的引入，追根求源，最初是为了求解没有实数根的二次方程。例如求解
这个由实数组成的方程，显然没有实数根。所以复数集可以看成实数集合的一个自然扩充。
首先引入一个“新数” i。使它满足
也就是说 i 是
的解。
我们再给复数定义：形如 z=a+bi的数就是复数。其中 a和b分别叫做复数 z 的实部和虚部。
注意，b才是虚部， bi不是虚部。
记作：a=Re(z),b=Im(z)
复数z=a+bi的分类
当虚部b=0时，复数z是实数；
当虚部b!=0时，复数z是虚数；
当虚部b!=0，且实部a=0时，复数z是纯虚数。
一些集合的记号
R——实数集，C——复数集
P——虚数集，Q——纯虚数集
有下列关系：
R∩P=ϕ
R∪P=C
Q⊊P⊊C
复数相等的充分必要条件
设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，而二者相等的充分必要条件是a=c而且b=d。
化虚为实是复数问题的通性通法
复数的运算法则
对于两个复数z1=a+bi，z2=c+di
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1−z2=(a−c)+(b−d)i
z1×z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
复数的运算定律
复数的加法满足交换律，结合律。
也就是z1+z2=z2+z1
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
复数的乘法满足交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律。也就是
z1×z2=z2×z1
(z1z2)z3=z1(z2z3)
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
共轭复数
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数。特别地，若复数的虚部不为零时，也称作互为共轭虚数。对于复数z=a+bi(a、b∈R)，它的共轭复数
用来表示。
共轭复数有如下基本性质
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