最小生成树图文解析

最小生成树英文是Minimum Spanning Tree，对于最小生成树大家应该都不陌生，当然还有最大生成树，首先就简单总结一下算法里的生成树。

一、什么是生成树？

Spanning有跨越的意思，生成树一般来说每个节点都能访问到别的节点，是一个连通树。所以，一般考虑无向图里去造生成树。生成树又分最小和最大两种，其中最小生成树应用比较多。总结一下生成树的定义：

1. 首先它得是一个树的结构

2. 所有的节点都能互相访问

3. 要么最小要么最大（废话）

如下图所示，加粗的黑边就是最小生成树。

特性

生成树有两个看起来很废话的特性 Cycle Property 和 Cut Property，这里以最小生成树为主来说明。

Cycle Property

如果在一个环里，其中某条边 e 是这里面的权重最大的边，那么这条边一定不在最小生成树里。

举个例子，上图我们看到其中一个环 0 -> 1 -> 7 -> 0，我们发现边 1 -> 7 是这里面权重最大的，那么就一定不会在这张图的最小生成树里。

Cut Property

再来看看 Cut Property，如果你把图里的节点分成两堆，里面最权重最小的边是一定会在这张图的最小生成树里的。

二、最小生成树

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。简单明了就是求最小的连通图。

举个例子：

这幅图的极小连通图为

或者

就是从一个点能到达图的任意一点，且花费的代价最小（所有边的权值最小）

三、代码描述

（一）Prim算法

1. 概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2. 算法简单描述

（1）输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

（2）初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

（3）重复下列操作，直到Vnew = V：

a. 在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b. 将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

（4）输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

3.下面对算法的图例描述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

3. 简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

（1）设prim生成的树为G0；

（2）假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0；

（3）将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)；

（4）这与prim每次生成最短边矛盾；

（5）故假设不成立，命题得证。

（二）Kruskal算法

1. 概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2. 算法简单描述

（1）记Graph中有v个顶点，e个边

（2）新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

（3）将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

（4）循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中 if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中，添加这条边到图Graphnew中

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边。

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了上图。

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择，BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。