图论部分简介

图论 (Graph theory) 是数学的一个分支，图是图论的主要研究对象。图 (Graph) 是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。

图（graph）是数据结构和算法学中最强大的框架之一。图几乎可以用来表现所有类型的结构或系统，从交通网络到通信网络，从下棋游戏到最优流程，从任务分配到人际交互网络，图都有广阔的用武之地。而要进入图论的世界，清晰、准确的基本概念是必须的前提和基础。

下面对其最核心和最重要的概念作出说明。关于图论的概念异乎寻常的多，先掌握下面最核心最重要的，足够开展一些工作了，其它的再到实践中不断去理解和熟悉吧。

图（graph）并不是指图形图像（image）或地图（map）。通常来说，我们会把图视为一种由“顶点”组成的抽象网络，网络中的各顶点可以通过“边”实现彼此的连接，表示两顶点有关联。注意上面图定义中的两个关键字，由此得到我们最基础最基本的2个概念，顶点（vertex）和边（edge），如图所示。

一、顶点（vertex）

上图中黑色的带数字的点就是顶点，表示某个事物或对象。由于图的术语没有标准化，因此，称顶点为点、节点、结点、端点等都是可以的。叫什么无所谓，理解是什么才是关键。

二、边（edge）

上图中顶点之间蓝色的线条就是边，表示事物与事物之间的关系。需要注意的是边表示的是顶点之间的逻辑关系，粗细长短都无所谓的。包括上面的顶点也一样，表示逻辑事物或对象，画的时候大小形状都无所谓。

三、同构（Isomorphism ）

先看看下面2张图：

首先你的感觉是这2个图肯定不一样。但从图（graph）的角度出发，这2个图是一样的，即它们是同构的。前面提到顶点和边指的是事物和事物的逻辑关系，不管顶点的位置在哪，边的粗细长短如何，只要不改变顶点代表的事物本身，不改变顶点之间的逻辑关系，那么就代表这些图拥有相同的信息，是同一个图。同构的图区别仅在于画法不同。

四、有向/无向图（Directed Graph/ Undirected Graph）

最基本的图通常被定义为“无向图”，与之对应的则被称为“有向图”。两者唯一的区别在于，有向图中的边是有方向性的。下图即是一个有向图，边的方向分别是：(1->2), (1-> 3), (3-> 1), (1->5), (2->3), (3->4), (3->5), (4->5), (1->6), (4->6)。要注意，图中的边(1->3)和(3->1)是不同的。有向图和无向图的许多原理和算法是相通的。

五、权重（weight）

边的权重（或者称为权值、开销、长度等），也是一个非常核心的概念，即每条边都有与之对应的值。例如当顶点代表某些物理地点时，两个顶点间边的权重可以设置为路网中的开车距离。下图中顶点为4个城市:Beijing, Shanghai, Wuhan, Guangzhou，边的权重设置为2城市之间的开车距离。有时候为了应对特殊情况，边的权重可以是零或者负数，也别忘了“图”是用来记录关联的东西，并不是真正的地图。

六、路径/最短路径（path/shortest path）

在图上任取两顶点，分别作为起点（start vertex）和终点（end vertex），我们可以规划许多条由起点到终点的路线。不会来来回回绕圈子、不会重复经过同一个点和同一条边的路线，就是一条“路径”。两点之间存在路径，则称这2个顶点是连通的（connected）。

还是上图的例子，北京->上海->广州，是一条路径，北京->武汉->广州，是另一条路径，北京—>武汉->上海->广州，也是一条路径。而北京->武汉->广州这条路径最短，称为最短路径。

路径也有权重。路径经过的每一条边，沿路加权重，权重总和就是路径的权重（通常只加边的权重，而不考虑顶点的权重）。在路网中，路径的权重，可以想象成路径的总长度。在有向图中，路径还必须跟随边的方向。

值得注意的是，一条路径包含了顶点和边，因此路径本身也构成了图结构，只不过是一种特殊的图结构。

七、环（loop）

环，也成为环路，是一个与路径相似的概念。在路径的终点添加一条指向起点的边，就构成一条环路。通俗点说就是绕圈。

上图中，北京->上海->武汉->广州->北京，就是一个环路。北京->武汉->上海->北京，也是一个环路。与路径一样，有向图中的环路也必须跟随边的方向。环本身也是一种特殊的图结构。

八、连通图/连通分量（connected graph/connected component）

如果在图G中，任意2个顶点之间都存在路径，那么称G为连通图（注意是任意2顶点）。上面那张城市之间的图，每个城市之间都有路径，因此是连通图。而下面这张图中，顶点8和顶点2之间就不存在路径，因此下图不是一个连通图，当然该图中还有很多顶点之间不存在路径。

上图虽然不是一个连通图，但它有多个连通子图：0,1,2顶点构成一个连通子图，0,1,2,3,4顶点构成的子图是连通图，6,7,8,9顶点构成的子图也是连通图，当然还有很多子图。我们把一个图的最大连通子图称为它的连通分量。0,1,2,3,4顶点构成的子图就是该图的最大连通子图，也就是连通分量。连通分量有如下特点：

（1）是子图；

（2）子图是连通的；

（3）子图含有最大顶点数。

注意：“最大连通子图”指的是无法再扩展了，不能包含更多顶点和边的子图。0,1,2,3,4顶点构成的子图已经无法再扩展了。

显然，对于连通图来说，它的最大连通子图就是其本身，连通分量也是其本身。