动态查找-二叉排序树介绍与实现

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1. 算法简介

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。该树属于一种输入数据就默认产生一种顺序的数据结构，这不像本章前面的内容所描述的静态的在某一个数据段内进行查找，动态查找是一种输入时就会自动对其进行排序的数据结构，前文学过的STL中的set集合其底层就是一个类似的树形结构红黑树。

2. 定义

二叉排序树有以下性值：

a) 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；

b) 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；

c) 左、右子树也分别为二叉排序树；

即对于每一个根结点，其左孩子永远小于根，右孩子永远大于根。

3. 查找

考虑如果树是空的，则查找结束，无匹配。如果被查找的值和根结点的值相等，查找成功。否则就在子树中继续查找。如果被查找的值小于根结点的值就选择左子树，大于根结点的值就选择右子树。

参考代码如下：

typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */ 
 
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{
    int data;   /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;
 
/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, */
/* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE */
/* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
Status SearchBST(BiTree t, int key, BiTree f, BiTree *p) 
{  
    if (!t) /*  查找不成功 */
    { 
        *p = f;  
        return FALSE; 
    }
    else if (key == t->data) /*  查找成功 */
    { 
        *p = t;  
        return TRUE; 
    } 
    else if (key < t->data) 
        return SearchBST(t->lchild, key, t, p);  /*  在左子树中继续查找 */
    else  
        return SearchBST(t->rchild, key, t, p);  /*  在右子树中继续查找 */
}

4.插入方法及实现

二叉排序的插入是建立在二叉排序的查找之上的，插入一个结点，就是通过查找发现该结点合适插入位置，把结点直接放进去。其实在2.2节中一步步构造二叉排序树的过程中就是结点插入过程，并考虑查找的关键字已经有在树中，则指向该数据结点，若查找的关键字没有在树中，则指向查找路径上最后一个结点。

参考代码

struct BiTree {
    int data;
    BiTree *lchild;
    BiTree *rchild;
};
 
//在二叉排序树中插入查找关键字key
BiTree* InsertBST(BiTree *t,int key)
{
    if (t == NULL)
    {
        t = new BiTree();
        t->lchild = t->rchild = NULL;
        t->data = key;
        return t;
    }
 
    if (key < t->data) 
        t->lchild = InsertBST(t->lchild, key);
    else
        t->rchild = InsertBST(t->rchild, key);
 
    return t;
}
 
//n个数据在数组d中，tree为二叉排序树根
BiTree* CreateBiTree(BiTree *tree, int d[], int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
        tree = InsertBST(tree, d[i]);
}

5.删除方法与实现

二叉树的删除可不再像二叉树的插入那么容易了，以为删除某个结点以后，会影响到树的其它部分的结构。

删除的时候需要考虑以下几种情况：

a)删除结点为叶子结点；

b)删除的结点只有左子树；

c)删除的结点只有右子树

d)删除的结点既有左子树又有右子树。

参考代码如下：

/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */
/* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{ 
    if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */ 
        return FALSE;
    else
    {
        if (key==(*T)->data) /* 找到关键字等于key的数据元素 */ 
            return Delete(T);
        else if (key<(*T)->data)
            return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
        else
            return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
 
    }
}
/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。 */
Status Delete(BiTree *p)
{
    BiTree q,s;
    if((*p)->rchild==NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树（待删结点是叶子也走此分支) */
    {
        q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);
    }
    else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子树 */
    {
        q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);
    }
    else /* 左右子树均不空 */
    {
        q=*p; s=(*p)->lchild;
        while(s->rchild) /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱） */
        {
            q=s;
            s=s->rchild;
        }
        (*p)->data=s->data; /*  s指向被删结点的直接前驱（将被删结点前驱的值取代被删结点的值） */
        if(q!=*p)
            q->rchild=s->lchild; /*  重接q的右子树 */ 
        else
            q->lchild=s->lchild; /*  重接q的左子树 */
        free(s);
    }
    return TRUE;
}