计科余定成

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最长上升子序列（贪心+二分）

　　作者: 计科余定成　　　　发表时间：2023-03-08 12:23:35 浏览：58　|　评论：0　

原题链接：最长上升子序列

线性DP（O(n^2)）：[传送门](https://blog.dotcpp.com/a/91960 "动态规划")

------------
## 贪心+二分（nlogn）
##### *贪心思路：在满足最长上升子序列的条件下，尽量让末尾元素更小，从而能够容纳更多的元素*

```cpp
具体来说，对于当前遍历到的元素 a[i]，如果它大于当前最长上升子序列的末尾元素 d[len]，那么直接将它加入到最长上升子序列中，并将最长上升子序列的长度 len 增加1。因为 a[i] 大于末尾元素，所以它肯定可以放在最长上升子序列中，并且由于它比末尾元素更小，它可以让后面更多的元素接在它后面，形成更长的上升子序列
如果 a[i] 不大于当前最长上升子序列的末尾元素，那么我们需要将它插入到合适的位置，使得更新后的最长上升子序列的末尾元素尽量小。具体来说，我们使用二分查找在 d 数组中寻找一个最大的下标 j，使得 d[j] < a[i]，然后将 d[j+1] 更新为a[i]。这里的意思是：找到一个位置 j，使得当前元素能够接在以 d[j] 为末尾元素的最长上升子序列后面，并且让末尾元素尽量小，以便后面更多的元素可以接在它后面
因此，这个贪心策略是正确的。它能够得到正确的最长上升子序列，并且时间复杂度为 O(n log n)
```

------------
```cpp
初始时，令 d[1]=a[1]，表示长度为1的最长上升子序列的末尾元素为 a[1]。然后，对于后面的元素 a[i]，我们进行如下操作：
如果 a[i] > d[len]，则将 a[i] 添加到当前最长上升子序列的末尾，并将 len 增加1
否则，在数组 d 中使用二分查找寻找最大的下标 j，使得 d[j] < a[i]。然后将 d[j+1] 更新为 a[i]
最后的 len 就是最长上升子序列的长度
```
##### *参考代码*
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

// a 表示输入的序列，d[i] 表示长度为 i 的最长上升子序列的末尾元素的最小值
    vector<int> a(n), d(n + 1, 0);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];

int len = 1; // 初始化最长上升子序列长度为 1
    d[len] = a[0]; // 初始化长度为 1 的最长上升子序列的末尾元素为 a[0]
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (a[i] > d[len]) { // 如果 a[i] 大于当前最长上升子序列的末尾元素，则直接将其加入到末尾
            d[++len] = a[i];
        } else {
            // 否则，在 d 数组中找到一个最大的下标 pos，使得 d[pos] < a[i]，并将 d[pos+1] 更新为 a[i]
            int l = 1, r = len, pos = 0;
            while (l <= r) {
                int mid = (l + r) >> 1;
                if (d[mid] < a[i]) { // 如果当前元素大于 d[mid]，则更新左边界
                    pos = mid;
                    l = mid + 1;
                } else { // 否则更新右边界
                    r = mid - 1;
                }
            }
            d[pos + 1] = a[i]; // 更新长度为 pos+1 的最长上升子序列的末尾元素
        }
    }

cout << len << endl; // 输出最长上升子序列的长度
    return 0;
}
```
无注释版
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
	int n;
	cin >> n;

vector<int> a(n), d(n + 1, 0);
	for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];

int len = 1;
	d[len] = a[0];
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		if (a[i] > d[len]) d[++len] = a[i];
		else {
			int l = 1, r = len, pos = 0;
			while (l <= r) {
				int mid = (l + r) >> 1;
				if (d[mid] < a[i]) {
					pos = mid;
					l = mid + 1;
				} else r = mid - 1;
			}
			d[pos + 1] = a[i];
		}
	}

cout << len << endl;
	return 0;
}
```

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计科余定成

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