用两种方法解决公约数问题

【洛】

一、辗转相除法

    辗转相除法， 又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

    这条算法基于一个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如15和25，25除以15商1余10,那么15和25的最大公约数，等同于10和15的最大公约数。

    有了这条定理，求出最大公约数就简单了。我们可以使用递归的方法来把问题逐步简化。

    首先，我们先计算出a除以b的余数c，把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出b除以c的余数d，把问题转化成求出c和d的最大公约数；再然后计算出c除以d的余数e，把问题转化成求出d和e的最大公约数......

    以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中一个数减小到1为止。

    我们将代码写出：

#include<stdio.h>

int gcd(int a, int b)
{
    if (a % b == 0)
        return b;
    else
        return gcd(b, a % b);              //递归计算最小公约数
}

int main()
{
    int num1, num2, A, B;               //num1:最大公约数，num2:最小公倍数。
    scanf("%d%d", &A, &B);
    if (A > B)                         //保证输入的数从小到大排列。
    {
        num1 = gcd(A, B);
        num2 = A * B / gcd(A, B);       //计算最大公倍数
    }
    else
    {
        num1 = gcd(B, A);
        num2 = A * B / gcd(B, A);       //计算最大公倍数
    }
    printf("%d\n%d", num1, num2);
    return 0;
}

    优点：相比较于暴力枚举法，运行效率提升很大。

    缺点：两个整型数较大时，a%b的运行效率很低。

二、更相减损术

    出自于中国古代的《九章算术》，也是一种求最大公约数的算法。我们古代中国可不比其他古文明差。更相减损术的原理更加简单。

    更相减损术：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。比如15和25，25减去15的差是10,那么15和25的最大公约数，等同于10和15的最大公约数。

    由此，我们同样可以通过递归来简化问题。首先，我们先计算出a和b的差值c（假设a>b），把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出c和b的差值d（假设c>b），把问题转化成求出b和d的最大公约数；再然后计算出b和d的差值e（假设b>d），把问题转化成求出d和e的最大公约数......

    以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的两个数。

    我们将代码写出：

#include<stdio.h>

int gcd(int a, int b)                 //递归计算最小公约数
{
    if (a == b)
        return a;
    if (a < b)
        return gcd(b - a, a);
    else
        return gcd(a - b, b);
}

int main()
{
    int num1, num2, A, B;            //num1:最大公约数，num2:最小公倍数。
    scanf("%d%d", &A, &B);
    num1 = gcd(A, B);
    num2 = A * B / gcd(B, A);        //计算最大公倍数
    printf("%d\n%d", num1, num2);
    return 0;
}

    优点：相比较于辗转相除法，对于两个相差较小的数运行效率提升很大。

    缺点：两个整型数相差较大时，递归的次数变多，运行效率很低。

        给小伙伴们留个课后作业：运用移位运算将更相减损术与移位结合，这样避免了取模运算，而且算法性能稳定。

思路：

    对于给定的正整数a和b。

    其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数

        当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

        当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

        当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

        当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。            

【完】