蓝桥杯2017年第八届真题-包子凑数【拓展欧几里得 完全背包】

解题思路：

本题考查了数学：拓展欧几里得以及DP完全背包问题
拓展欧几里得：
设方程ax+by=C，C是gcd(a,b)的倍数
若a,b互质，则方程一定有解且解的数无穷
若不互质，则有无限多个C导致方程无解
例如：
如果gcd(a,b)==1,则仅有部分C凑不出，且能找到凑不出的C的最大值，最大值为：a*b-a-b(公式)
如果gcd(a,b)!=1，比如等于k,那么我们只能凑出k的整数倍
所以肯定有INF个数字不是K的倍数
同样设方程a1x1+a2x2+…+anxn=C(第i种蒸笼恰好能放ai个包子,第i种蒸笼拿xi笼，C为要凑出的包子数) ，C是gcd(a1,a2,..,an)的倍数，也满足上面的结论

DP完全背包：
完全背包问题是这么描述的：
设有n种物品，每种物品有一个重量。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M。
现在将ai看成重量，xi看成件数，C看成凑出的总重量，题目就转化为有多少个C凑不出

代码思路：
开辟一个bool型一维数组f[],f[i]表示能否凑出i，
初始化f[0]=true，表示0总是能凑出；

if(f[j]){
    f[j+a[i]]=true;
}

#include<iostream>
using namespace std;
int n,g;
int a[100];
bool f[10000];
int gcd(int a,int b){
    if(b==0)  return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    cin>>n;
    f[0]=true;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        if(i==1)  g=a[i];//初始化最大公约数
        else g=gcd(a[i],g);
        for(int j=0;j<10000;j++){
            if(f[j]) f[j+a[i]]=true;
        }
    }
    if(g!=1){
        cout<<"INF"<<endl;
        return 0;
    }
    //统计个数
    int ans=0;
    for(int i=0;i<10000;i++){
        if(!f[i])  ans++;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}