Hifipsysta-1096-蛇行矩阵（C++代码）超详细的双递归数列解题步骤

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### 解题思路：
#### 1. 总结出每一行的规律
##### 首先看第0行：
$$a_0=1$$
$$a_1=a_0+2=1+2=3$$
$$a_2=a_1+3=3+3=6$$
$$a_3=a_2+4=6+4=10$$
可知规律为：
```latex
\begin{cases}
a_0=1;\\
a_n=a_{n-1}+(n+1)
\end{cases}
```

##### 再看第1行：
$$a_0=2$$
$$a_1=a_0+3=2+3=5$$
$$a_2=a_1+4=5+4=9$$
$$a_3=a_2+5=9+5=14$$
可知规律为：
```latex
\begin{cases}
a_0=2;\\
a_n=a_{n-1}+(n+2)
\end{cases}
```
进而可以总结出地第2行，第3行……，第i行规律是一个递推数列；
```latex
\begin{cases}
a_0=start\_val;\\
a_n=a_{n-1}+[n+(i+1)]
\end{cases}
```
#### 2. 确定递推数列的首项
##### 接下来的问题是如何确定每一行的初始值，也就是递推数列的首项
观察第0列：
$$a_0=2$$
$$a_1=a_0+1=1+1=2$$
$$a_2=a_1+2=2+2=4$$
$$a_3=a_2+3=4+3=7$$
可知规律为：
```latex
\begin{cases}
a_0=1;\\
a_n=a_{n-1}+n
\end{cases}
```
我们可以观察到也是一个递推数列，我们将其命名为$$b_i$$
```latex
\begin{cases}
b_0=1;\\
b_i=b_{i-1}+i
\end{cases}
```

##### 那么n是什么呢？
如果每1行单独是一个等差数列，那么n就是矩阵中的列索引，我们称为$$j$$。
因此我们有一个综合的表达式：
```latex
\begin{cases}
a_0=b_i+1;\\
a_j=a_{j-1}+[j+(i+1)]\\
b_0=1\\
b_i=b_{i-1}+i
\end{cases}
```
可以采用矩阵表示法，也可以采用两个递推数列表示法。由于上述分析都建立在递推数列基础之上，因此本文选择递推数列法。

$$b_n$$其实只是$$a_n$$的首项，可以先不考虑，主要的工作是表示递推数列$$a_n$$。

### 基本步骤：
① 表示递推数列$$a_j$$
② 表示递推数列$$b_i$$
③ 按行打印即可

### 注意事项：
① $$a_j$$的值取决于首项$$b_i$$，行索引$$i$$，列索引$$j$$。
② $$b_i$$的值只与$$i$$有关

```cpp
#include<iostream>
using namespace std;

int a_series(int start_val, int col_idx, int row_idx){
    int result;
    if(col_idx==0){
        result = start_val;
    }
    else if(col_idx>=1){
        result = a_series(start_val, col_idx-1, row_idx) + (col_idx + row_idx + 1);
    }
    return result;
}

int b_series(int col_idx){
    int result;
    if(col_idx == 0){
        result = 1;
    }
    else if(col_idx >= 1){
        result = b_series(col_idx-1)+col_idx;
    }
    return result;
}

int fill_row(int total_column, int row_idx, int start_val){
    for(int i=0;i<total_column;i++){
        cout<< a_series(start_val, i, row_idx) <<' ';
    }
    cout<<endl;
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        fill_row(n-i, i , b_series(i));
    }
    return 0;
}
```

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本文分类：题解列表
浏览次数：1216 次浏览
发布日期：2022-02-03 09:31:05
本文链接：https://blog.dotcpp.com/a/83420

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