1004: [递归]母牛的故事

解题思路:

打表理清思路先，把牛家分大牛、三岁牛宝、两岁牛宝、一岁牛宝（虚岁，出生就是一岁啦）

在第5年时，牛宝开始陆续长成大牛，三岁牛宝就变成了大牛

同理，两岁牛宝变三岁牛宝，一岁牛宝变两岁牛宝

而新的一岁牛宝则是去年的大牛跟三岁牛宝的总牛数（三岁牛宝今年长成大牛也开始生小牛宝了）

思路理清后，就要求递推公式了，把4种牛分别用字母标记：

大牛a[]、三岁牛宝b[]、两岁牛宝c[]、一岁牛宝d[]以及牛头数s[]

可以得出第n年的各个公式：

a[n] = a[n-1]+b[n-1]

b[n] = c[n-1]

c[n] = d[n-1]

d[n] = a[n-1]+b[n-1] = a[n]

则总牛数 s[n]=a[n]+b[n]+c[n]+d[n]

    = a[n-1]+b[n-1]+c[n-1]+d[n-1]+a[n-1]+b[n-1]

    = s[n-1]+a[n-2]+b[n-2]+c[n-2]

    = s[n-1]+a[n-3]+b[n-3]+c[n-3]+d[n-3]

    = s[n-1]+s[n-3]

根据递推公式可以写出基本的递归函数如下：

int fab(int month) {
    if(month < 4) {
        return month;
    } else {
        return fab(month-1)+fab(month-3);
    }
}

但递归在月份大的时候空间复杂度跟时间复杂度都特别高，故需再用动态规划思路，在递归的过程中不断记录计算过的月份的牛头数，需要的时候可以直接调用
参考代码:

应题目要求使用递归：

#include<iostream>
using namespace std;
 
long long cow[56] = {0,1,2,3,4}; // 在main函数外定义的数组会全部自动初始化为0
 
long long fab(int month) {
    if(cow[month] == 0) { // 没有算过的月份，数组内存的是0
        cow[month] = fab(month-1) + fab(month-3);
        return cow[month];
    } else {
        return cow[month];
    }
}
 
int main () {
    int n;
    while(scanf("%d", &n) && n) cout << fab(n) << endl;
    return 0;
}

或者直接用递推公式：

#include<iostream>
using namespace std;
 
int main () {
    int cow[56] = {0,1,2,3,4};
    for(int i = 4; i < 55; i ++) cow[i] = cow[i-1] + cow[i-3];
    int n;
    while(scanf("%d", &n) && n) cout << cow[n] << endl;
    return 0;
}