Manchester-【简单计算】(正真的简单计算，详解+公式推导）

解题思路:

1.列出基本递推关系式子：

a[1] = (a[0] + a[2]) /2- c[1]
a[2] = (a[1] + a[3]) /2- c[2]
a[3] = (a[2] + a[4]) /2- c[3]

......................................

a[n] = (a[n-1] + a[n+1]) /2 -c[n]

2.要输入数据有：n,  a[0],  a[n+1],  以及  c[1]~~c[n];

3.求a[1];

4.分析题目：

（1）n<=3000,说明不可以用递归，否则栈溢出；

（2）数列a[]中，输入的是数据只是第一个数a[0]和最后一个数a[n+1]，用上面基本递推式子，发现中间有好多未知量，说明得根据递推式子，求a[1],和a[0],a[n+1],c[i]间的关系；

5.求关系

1. 递推关系两遍同时乘以2，把分母2消除以便推导即：

2. 2*a[n] = a[n-1]  + a[n+1] -2*c[n]
   

3. 为了推导方便先假设n=5，则有一下式子
   

   2*a[1]=a[0]+a[2]-2*c[1]

   2*a[2]=a[1]+a[3]-2*c[2]

   2*a[3]=a[2]+a[4]-2*c[3]

   2*a[4]=a[3]+a[5]-2*c[4]

   2*a[5]=a[4]+a[6]-2*c[5]

4. 把以上式子加起来，可消元得到：

   a[1]+a[5]=a[0]+a[6]-2*(sum(1~5))

   这里sum(1~5)=c[1]+c[2]+....+c[5]

5. 走到上面发现式子里面还有个未知量a[5],想办法把a[5]也消去；

6. 返回第2步，令n=4，把式子加起来，可消元得到：

   a[1]+a[4]=a[0]+a[5]-2*(sum(1~4))

7. 再令n=3，把式子加起来，可消元得到：

   a[1]+a[3]=a[0]+a[4]-2*(sum(1~3))

8. 直到n=1

   a[1]+a[1]=a[0]+a[2]-2*(sum(1~1))

9. 把以上得到的所有式子罗列出来：

                               a[1] + a[5] = a[0] + a[6]- 2*(sum(1~5))
                               a[1] + a[4] = a[0] + a[5]- 2*(sum(1~4))
                               a[1] + a[3] = a[0] + a[4]- 2*(sum(1~3))
                               a[1] + a[2]=  a[0] + a[3]- 2*(sum(1~2))
                               a[1] + a[1] = a[0] + a[2]- 2*(sum(1~1))
   

   再把这些式子加起来，消元得到：

10.    6*a[1]  =5*a[0]  +  a[6]  -  2*(sumx(1~5))

    这里sumx(1~5)=sum(1~1)+sum(1~2)+sum(1~3)...+sum(1~5)  即：
    

       sumx(1~5)=c[1]+(c[1]+c[2])+(c[1]+c[2]+c[3])+.....+（c[1]+c[2]+..+c[5])

 11.最终：a[1] = ( 5*a[0] + a[6] - 2*(sumx(1~5)) )/6

 12.据归纳法当n=n时；

    a[1] = (  n*a[0]  +  a[n+1]  -  2*( sumx(1~n) )  )  /  (n+1)

参考代码：

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
/*-----------------------------------------------------*/

void input( double *A0, double *An_add1, double *C, int n );
double sumx( double *C, int n );
void function( double A0, double An_add1, double *C, int n );

int main()
{
    double    *C;
    int    n;
    double    A0, An_add1;   //分别代表a[0],  a[n+1]
    while ( scanf( "%d", &n ) != EOF )
    {
        C = (double *) malloc( (n + 1) * sizeof(double) ); //为c[]开辟空间
        input( &A0, &An_add1, C, n );    //输入n,  a[0],  a[n+1],  以及  c[1]~~c[n];
        function( A0, An_add1, C, n );    //运行
    }

    return(0);
}


/*-----------------------------------------------------*/
void function( double A0, double An_add1, double *C, int n )
{
    double A1 = (n * A0 + An_add1 - 2 * sumx( C, n ) ) / (n + 1);  //求A1
    printf( "%.2lf\n", A1 );  //输出A1
}


/*-----------------------------------------------------*/
void input( double *A0, double *An_add1, double *C, int n )
{
    scanf( "%lf%lf", A0, An_add1 );   //输入a[0],  a[n+1]

    for ( int i = 1; i <= n; i++ )    //输入c[1]~~c[n]
        scanf( "%lf", &C[i] );
}


/*-----------------------------------------------------*/
double sumx( double *C, int n )
{
    double sum = 0;
    for ( int i = 1; i <= n; i++ )    //求推导公式中的sumx(1～n)
    {
        for ( int j = 1; j <= i; j++ )
            sum += C[j];
    }
    return(sum);     //返回sumx(1～n)
}

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