解题思路:
将n条直线排成一个序列,直线2和直线1最多只有一个交点,直线3和直线1,2最多有两个交点,……,直线n 和其他n-1条直线最多有n-1个交点。由此得出n条直线互不平行且无三线共点的最多交点数:
Max = 1 +2 +……+(n-1)=n(n-1)/2;
这些直线有多少种不同的交点数
当n = 1, 2, 3时情况很容易分析。当n = 4 时,我们可以按如下分类方法,逐步计算。
1. 四条直线全部平行,无交点。
2. 其中三条平行,交点数: 3*(n-3)+0 = 3;
3. 其中两条平行,而另外两条直线的交点既可能平行也可能相交,因此交点数据分别为:
2*(n-2) + 0 = 4
2*(n-2) + 1 = 5
4. 四条直线互不平行, 交点数为1*(n-1) + {3条直线的相交情况}:
1*(n-1)+0=3
1*(n-1)+2=5
1*(n-1)+3=6
即n=4时,有0, 3, 4, 5, 6个不同的交点数.所以有5种可能。
从上述n=4的分析过程中,发现:
m条直线的交点数=r条平行线与m-r条直线交叉的交点数+ m-r条直线本身的交点数 =r*(m-r) + m-r条直线之间的交点数。(1<=r<=m)
{m条直线的交点数集合} = U { r条平行线与m-r条直线交叉的交点数 + {m-r条直线本身的交点数集合} } = U { r*(m-r) + {m-r条直线之间的交点数集合} }。(1<=r<=m)
注意:数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。
如何编写程序?
程序框架如下:
//Ui表示i条直线的交点数集合
初始化U0= {0}, U1= {0}
For n = 2 to N
Un = {} //初始化Un为空集
For i = 1 to n //i表示平行线个数
Un =Un U { i*(n-i) + Un-i} //并运算
注意:数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。
用C++代码实现,我们可以用set集合,最简单的方法是用数组表示交点数集合。
二维数组 p[i][j] 表示i条直线,j个交点数是否存在。存在值为1,不存在值为0.
注:转载自http://blog.csdn.net/somksomk/article/details/8500194
参考代码:
#include <stdio.h> int main() { int p[21][200], n,i,j; //n的上限是20,交点数的上限为200,故定义p[21][200],交点数为1+2+3+…(n-1) memset(p, 0, sizeof(p)); for(i=0; i<21; i++) p[i][0]=1; //不管多少直线都存在0个交点的情况,即所有直线平行 for(n=2; n<21; n++) //动态规划p[i][j]表示i条直线,交点数为j.当p[i][j]=1,则表示i条直线中存在交点数为j的情况 for(i=1; i < n; i++) //n条直线平行的情况已经考虑了,无需重复 for(j=0; j<200; j++) { if(p[n-i][j]==1)//他用i行表示多少条线,用数组元素为1表示该元素的j为可能存在的交点个数。 然后从数组2行开始往后规划,规划的方法是:i条线平行。n-i条线得出行数存在的交点情况加上i(n-i) 然后在相应得到交点数赋值为1 p[n][j+i*(n-i)]=1; } while (scanf("%d", &n) != EOF) { for (j=0; j <= n*(n-1)/2; j++) //n*(n-1)/2能形成的最大交点数 { if (p[n][j]) printf("%d ",j); } printf("\n"); } return 0; }
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