状态转移方程和埃拉托斯特尼筛法

解题思路:

对于动态规划部分，对于每个x，我们需要检查是否存在一个质数p，使得x-p后的状态是必败态（即dp[x-p]为false）。如果有这样的p，那么当前玩家可以赢，否则不能。

需要注意的点：

1. 质数的生成要正确，尤其是筛法的实现。

2. 动态规划的状态转移是否正确。

3. 处理多个输入的情况，尤其是预处理到最大的n。

现在考虑Java的实现步骤：

1. 读取输入，获取所有的n，找到最大的max_n。

2. 生成所有小于等于max_n的质数。

3. 预处理dp数组，从2到max_n逐个处理。

4. 对于每个x，遍历所有可能的质数p（<=x），检查x-p是否为false。如果有，则dp[x]设为true。

5. 最后，遍历每个输入的n，输出1或0。

可能的优化点：在遍历质数的时候，可以按从大到小的顺序，这样一旦找到符合条件的p，就可以提前跳出循环，节省时间。因为较大的p可能导致更小的剩余长度，可能更快找到必胜策略。

现在具体思考如何生成质数列表。例如，用埃拉托斯特尼筛法得到一个boolean数组，然后遍历该数组，将质数存入列表。

然后，在动态规划的处理中，对于每个x，获取所有小于等于x的质数。这里可以用二分查找来确定最大的质数位置，或者直接遍历质数列表直到质数超过x。或者，可以预先将质数排序，然后使用二分查找找到最大的不超过x的质数的索引，然后从该索引开始往前遍历。

例如，质数列表是升序排列的。比如primes列表中存的是2,3,5,7,...。对于x，找到最大的p <=x的位置，可以用二分查找，比如用Collections.binarySearch。但需要注意处理返回的插入点，找到合适的索引。

或者在生成质数的时候，直接按升序存入列表，这样在遍历时，可以用二分查找确定范围。

例如，对于x，找到primes中最大的p <=x，然后从这个位置往前遍历。这样可能更快找到满足条件的p，从而提前终止循环。

这可能比按升序遍历所有质数更高效，因为较大的p更容易让剩下的x-p较小，而可能更快找到导致对方必败的情况。

现在，如何高效地找到所有不大于x的质数？例如，在Java中，可以使用List<Integer> primes，并且使用二分查找来找到最大的p <=x的位置。例如，用Collections.binarySearch，如果没找到，返回的插入点是(-insertionPoint -1)，所以可以调整得到最大的索引。

举个例子，假设primes是有序的。比如，primes列表是[2,3,5,7,11...]。当x是8时，最大的质数<=8是7，对应的索引是3。所以，对于x=8，遍历质数7,5,3,2等，直到找到符合条件的p。

所以，在Java中，可以这样处理：

对于每个x，找到primes中最后一个<=x的元素的位置。这可以通过二分查找实现。比如，使用Collections.binarySearch：

int index = Collections.binarySearch(primes, x);

if (index < 0) {

index = -index - 2; // 例如，如果x=8，binarySearch返回的插入点是4（因为7在索引3，下一个元素是11，索引4），所以插入点是4，得到-4-1=-5。所以 index = -(-5) -2=5-2=3，正确。

}

然后，从index开始往前遍历到0，检查每个primes.get(i)是否<=x，然后看x-p是否让dp[x-p]为false。

例如，对于x=4，质数是2,3。3比4小，但4-3=1，此时dp[1]是false。所以当前玩家可以选3，让对手处于必败态，所以dp[4]是true。

那么，在Java代码中，如何实现这一点？

另外，处理输入的时候，需要读取所有测试用例的n，然后找到最大的那个，生成质数列表到该最大值。

然后构建dp数组，从0到max_n。

现在，具体步骤：

1. 读取输入：

例如，输入的第一行是T，然后是T个n。读取所有n到一个数组中，并找到最大的max_n。

2. 生成质数列表到max_n：

使用筛法生成所有质数，并将它们存入一个List<Integer> primes中。

3. 初始化dp数组：

dp数组的长度是max_n +1。dp[0]和dp[1]都是false，因为此时轮到玩家无法操作，输。

4. 填充dp数组：

对于x从2到max_n：

遍历所有质数p <=x，降序检查是否有p使得dp[x-p]为false。如果有，dp[x]为true；否则为false。

为了提高效率，可以按从大到小的顺序遍历质数，这样一旦找到符合条件的p就可以break。

5. 处理每个输入的n，输出1或0。

现在，如何高效地遍历质数？

比如，对于每个x，找到primes中最大的p <=x的位置，然后从该位置开始往前遍历。

在Java中，可以使用Collections.binarySearch来进行查找。

例如：

List<Integer> primes = new ArrayList<>();

// 填充primes...

for (int x = 2; x <= max_n; x++) {

boolean canWin = false;

// 找到最大的p <=x的位置

int index = Collections.binarySearch(primes, x);

if (index < 0) {

index = -index - 2;

}

for (int i = index; i >=0; i--) {

int p = primes.get(i);

if (p > x) continue; // 可能不需要，但确保安全

if (!dp[x - p]) {

canWin = true;

break;

}

}

dp[x] = canWin;

}

这样处理的话，对于每个x，从最大的质数开始尝试，一旦发现可以导致对方失败的情况，立即标记为true并跳出循环。这样可以减少不必要的检查。

但是，当x本身是质数时，比如x=5，如果选择p=5，那么x-p=0，dp[0]是false，所以当前玩家可以胜。所以这种情况下dp[5]是true。

现在，测试一些例子：

比如x=2：

质数是2。x-p=0。dp[0]是false。所以dp[2]是true。输出1。

x=3：

质数是2、3。尝试3，x-p=0 → true。所以dp[3]是true。

x=4：

质数是2、3。尝试3，得到4-3=1 → dp[1]是false。所以dp[4]是true。

x=5：

质数5，选择5 → x-p=0 → true.

x=6：

质数有2,3,5。尝试5的话，6-5=1 → dp[1]是false。所以dp[6]是true。所以不管怎么选择，只要存在一个质数p，使得剩下的长度对方必输，则当前玩家赢。

比如x=7：

质数包括7。选7的话，剩余0，对方输。所以dp[7]是true。

x=1的情况已经被处理，直接false。

现在，考虑x=0和x=1的情况，这些情况在动态规划数组中被初始化为false。

现在，编写代码时需要注意：

- 筛法生成质数是否正确。

- 动态规划的处理是否正确遍历所有可能的质数。

- 处理质数列表为空的情况（比如当max_n<2时，但题目中n>=0，可能测试用例中有n=1的情况？但根据问题描述，输入的n可能有任何值，但质数列表可能为空。比如，当max_n是1时，质数列表为空。此时所有x>=2的dp[x]都为false？或者如何处理？

比如，当max_n是1的时候，所有输入的n都是0或1，那么输出0。否则，如果有n>=2，但质数列表为空，那么玩家无法操作，所以当前玩家输。例如，当x=2的时候，如果质数列表中没有2的话，那这是不可能的，因为筛法会生成2作为质数。所以这种情况可能不会出现。

所以，在生成质数时，正确性很重要。例如，筛法生成所有质数到max_n，包括max_n本身如果是质数的话。

现在，编写筛法的代码：

public static List<Integer> sieve(int maxN) {

boolean[] isPrime = new boolean[maxN +1];

Arrays.fill(isPrime, true);

isPrime[0] = isPrime[1] = false;

for (int i=2; i*i <=maxN; i++) {

if (isPrime[i]) {

for (int j=i*i; j <=maxN; j +=i) {

isPrime[j] = false;

}

}

}

List<Integer> primes = new ArrayList<>();

for (int i=2; i<=maxN; i++) {

if (isPrime[i]) primes.add(i);

}

return primes;

}

这样可以得到正确的质数列表。

现在，考虑当max_n是0或1的情况。此时primes列表为空。此时，对于x>=2的dp[x]，无法找到质数p，所以dp[x]为false吗？比如，如果输入的n是2，但max_n是2，则primes列表包含2。所以没问题。

那当max_n是1的时候，primes列表为空，所以所有x>=2的情况不存在质数p，无法砍，所以玩家无法行动，输。因此，dp[x] = false。所以，比如，当n=2，此时玩家无法行动，所以输，输出0。但是此时质数列表中有2吗？如果max_n是2，那么筛法会生成primes列表包含2。但如果max_n是1，则primes列表为空。

所以，在代码中，当处理每个x的时候，如果primes列表为空，那么无法选择任何p，所以dp[x]只能是false。但这种情况只会在x<2的时候存在吗？

比如，假设max_n=3，那么primes列表包含2,3。对于x=4，可能不在primes列表中，但动态规划处理的时候，x=4会遍历所有primes中的质数<=4，即2,3。所以没问题。

所以，当max_n是足够大时，primes列表包含足够的质数。

综上，Java代码的结构应该是：

读取输入，找到最大的n，生成质数列表，构建dp数组，处理每个n。

现在，编写代码的大纲：

import java.util.*;

public class Main {

public static void main(String[] args) {

Scanner sc = new Scanner(System.in);

int T = sc.nextInt();

int[] nList = new int[T];

int maxN = 0;

for (int i=0; i<T; i++) {

nList[i] = sc.nextInt();

if (nList[i] > maxN) maxN = nList[i];

}

List<Integer> primes = sieve(maxN);

boolean[] dp = new boolean[maxN +1];

dp[0] = false;

dp[1] = false;

for (int x=2; x<=maxN; x++) {

boolean canWin = false;

int index = Collections.binarySearch(primes, x);

if (index <0) {

index = -index -2;

}

for (int i=index; i >=0; i--) {

int p = primes.get(i);

if (p >x) continue;

if (!dp[x -p]) {

canWin = true;

break;

}

}

dp[x] = canWin;

}

for (int n : nList) {

System.out.println(dp[n] ? 1 : 0);

}

}

private static List<Integer> sieve(int maxN) {

if (maxN <2) return new ArrayList<>();

boolean[] isPrime = new boolean[maxN +1];

Arrays.fill(isPrime, true);

isPrime[0] = isPrime[1] = false;

for (int i=2; i*i <= maxN; i++) {

if (isPrime[i]) {

for (int j=i*i; j<=maxN; j +=i) {

isPrime[j] = false;

}

}

}

List<Integer> primes = new ArrayList<>();

for (int i=2; i<=maxN; i++) {

if (isPrime[i]) primes.add(i);

}

return primes;

}

}

现在，测试一些案例。

比如，输入：

3

2 3 4

预期输出应为1 1 1。因为：

n=2，小蓝选2，剩下0，小乔无法操作，小蓝胜。

n=3，选3，小乔输。

n=4，选3，剩下1，小乔无法操作，小蓝胜。

运行代码，dp[2]=true，dp[3]=true，dp[4]=true，所以输出正确。

另一个测试用例，n=5：

输出1。

n=1：输出0。

n=6：可以选5，剩下1，对方输。所以输出1。

n=7：选7，剩下0，输。所以输出1。

现在，考虑n=9的情况：

质数有2,3,5,7.

对于x=9：

检查7 → 9-7=2。dp[2]是true，所以对方会赢？所以当前玩家不能选7。

然后检查5 →9-5=4。dp[4]是true，对方赢？

接着3 →9-3=6 →dp[6]是true。对方赢？

再选2 →9-2=7 →dp[7]是true。对方赢？

所以不管选哪个质数，剩下的都是true，对方会赢。所以dp[9]是false。所以小乔赢，输出0？

或者我是不是哪里想错了？

比如，假设当前玩家面对x=9，是否有任何质数p的选择可以让对方处于必败态？

比如，假设p=7，剩下的2，此时dp[2]是true。所以对方在x=2时能赢，所以当前玩家无法赢。

p=5 →4，dp[4]是true。对方赢。

p=3 →6，dp[6]是true。对方赢。

p=2 →7，dp[7]是true。对方赢。

所以无论选哪个p，剩下的x-p对应的dp是true，对方可以赢。所以当前玩家无法赢，dp[9]为false。所以输出0。

所以n=9时，输出0。

那在代码中，dp[9]是否正确？

假设maxN=9，质数列表是[2,3,5,7]. 对每个x=9的处理：

index是binarySearch找7的位置，得到3。遍历i=3,2,1,0。

i=3，p=7 →x-p=2，dp[2]是true，所以不满足!dp[x-p]。

继续i=2，p=5 →9-5=4 →dp[4]是true，同样不满足。

i=1，p=3 →6 →dp[6]是true.

i=0，p=2 →7 →dp[7]是true.

所以canWin是false。所以dp[9]是false。所以输出0。这与预期一致。

那这说明代码是正确的。

再另一个例子：n=4。质数有2,3。x=4时，检查p=3，得到1，dp[1]是false →所以canWin是true。所以输出1。正确。

注意事项:

参考代码:

import java.util.*;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        int T = sc.nextInt();

        int[] nList = new int[T];

        int maxN = 0;

        for (int i = 0; i < T; i++) {

            nList[i] = sc.nextInt();

            if (nList[i] > maxN) {

                maxN = nList[i];

            }

        }

        List<Integer> primes = sieve(maxN);

        boolean[] dp = new boolean[maxN + 1];

        if (maxN >= 0) {

            dp[0] = false;

        }

        if (maxN >= 1) {

            dp[1] = false;

        }

        for (int x = 2; x <= maxN; x++) {

            boolean canWin = false;

            int index = Collections.binarySearch(primes, x);

            if (index < 0) {

                index = -index - 2;

            }

            for (int i = index; i >= 0; i--) {

                int p = primes.get(i);

                if (p > x) {

                    continue;

                }

                if (!dp[x - p]) {

                    canWin = true;

                    break;

                }

            }

            dp[x] = canWin;

        }

        for (int n : nList) {

            System.out.println(dp[n] ? 1 : 0);

        }

    }

    private static List<Integer> sieve(int maxN) {

        List<Integer> primes = new ArrayList<>();

        if (maxN < 2) {

            return primes;

        }

        boolean[] isPrime = new boolean[maxN + 1];

        Arrays.fill(isPrime, true);

        isPrime[0] = isPrime[1] = false;

        for (int i = 2; i * i <= maxN; i++) {

            if (isPrime[i]) {

                for (int j = i * i; j <= maxN; j += i) {

                    isPrime[j] = false;

                }

            }

        }

        for (int i = 2; i <= maxN; i++) {

            if (isPrime[i]) {

                primes.add(i);

            }

        }

        return primes;

    }

}