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2005年春浙江省计算机等级考试二级C 编程题(3) （C语言代码）

c语言牛顿迭代法求平方根

　　作者: tt　　　　发表时间：2024-07-23 00:17:04 浏览：99　|　评论：0　

原题链接：[编程入门]迭代法求平方根

# C语言迭代法求平方根
迭代法也称牛顿迭代法，核心公式是**牛顿迭代公式**：
$$x\_{n+1}=x\_{n}-\frac{f(x\_{n})}{f^{\prime}(x\_{n})}$$

**1.牛顿迭代公式的推导：**
	设 $$r$$ 是 $$f(x) = 0$$  的根，选取 $$x\_0$$ 作为 $$r$$  的初始近似值，过点 $$(x\_0,f(x\_0))$$ 做曲线 $$y=f(x)$$ 的切线 $$L$$ ，$$L: y=f(x\_0)+f^{\prime}(x\_0)(x-x\_0)$$ ，则 $$L$$ 与 $$x$$ 轴交点的横坐标 $$x\_1=x\_0-\frac{f(x\_0)}{f^{\prime}(x\_0)}$$ ，称 $$x\_1$$ 为 $$r$$ 的一次近似值。过点 $$(x\_1,f(x\_1))$$ 做曲线 $$y=f(x)$$ 的切线，并求该切线与 $$x$$ 轴交点的横坐标 $$x\_2=x\_1-\frac{f(x\_1)}{f^{\prime}(x\_1)}$$ ，称 $$x\_2$$ 为 $$r$$  的二次近似值。重复以上过程，得 $$r$$  的近似值序列，其中，$$x\_{n+1}=x\_{n}-\frac{f(x\_{n})}{f^{\prime}(x\_{n})}$$ 称为 $$r$$ 的 $$n+1$$ 次近似值，上式称为**牛顿迭代公式**。
	**--以上摘自百度百科**

**2.求平方根的迭代公式的推导：**
	因为要求的是平方根，即 $$x^{2}=a$$  ,且暂不考虑负数。所以，设 $$f(x)=x^{2}-a$$ ，将 $$f(x)$$ 代入到牛顿迭代公式中，
	得 $$x\_{n+1} = x\_n - \frac{x^{2}\_{n}-a}{2x\_n}$$ ，
	化简后得 $$x\_{n+1} = (x\_n+a/x\_n)/2$$ ，
	即代码中第9行和第16行的代码。

**3.代码:**
```c
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
    int a;
    float x0=57.8,x1;
    printf("输入要开根号的数：\n");
    scanf("%d",&a);
    x1=(x0+a/x0)/2;
    printf("平方根的初始近似值：\n");
    printf("x0= %f x1= %f |x1-x0|= %f\n",x0,x1,fabs(x1-x0));
    printf("-------------------------------------------\n");
    while(fabs(x1-x0)>1e-5)
    {
        x0=x1;
        x1=(x0+a/x0)/2;
        printf("x0= %f x1= %f |x1-x0|= %f\n",x0,x1,fabs(x1-x0));
    }
    printf("迭代法算出的平方根 %f\n",x1);
    printf("调用sqrt()函数算出的平方根 %f",sqrt(a));
    return 0;
}
```
**4.平方根初始近似值该如何取:**
	代码中， $$x\_1$$ 是平方根的一次近似值，初始值为 0 ， $$x\_0$$ 是平方根的初始近似值，平方根的初始近似值只要不为负数和 0 ，取任何值都可以，不论是大于平方根，还是小于平方根，在后续迭代过程中都会逐步趋近于平方根。见下图：
	图中坐标只是示例，所取坐标和函数并不和程序中的数据对应
	**示例图片1**：选取的 $$x\_0$$ 比平方根 $$r$$ 小，但在迭代过程中会修正到比平方根大的值，然后再趋近于平方根。
	![](/image_editor_upload/20240723/20240723120828_93795.png)
	 **示例图片2**：选取的 $$x\_0$$ 比平方根 $$r$$ 大，在迭代过程中也会慢慢趋近于平方根。
	![](/image_editor_upload/20240723/20240723121015_54917.png)
	 下面的图片用程序中真实的数据证明一下，计算10的平方根3.162278：
	 **示例图片3**：平方根的初始近似值取0.3
	![](/image_editor_upload/20240723/20240723121216_41103.png)
	 **示例图片4**：平方根的初始近似值取2.1
	![](/image_editor_upload/20240723/20240723121246_75901.png)
	 **示例图片5**：平方根的初始近似值取5.0
	![](/image_editor_upload/20240723/20240723121358_61393.png)
	 **示例图片6**：平方根的初始近似值取57.8
	![](/image_editor_upload/20240723/20240723121436_56437.png)
**5.为什么要以精度值作为迭代循环终止判断的条件：**
	根据函数图像和程序数据，越趋近于平方根，迭代的值之间的差是越来越小的，虽然不能完全迭代出平方根本身，但可以通过控制精度，得到平方根的近似值，也是符合运算情况的。

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