[编程入门]最大公约数与最小公倍数-题解（C语言代码）(短除法)

解题思路:

很多人都用辗转相除法来递归，但是我们上中学时用的更多的应该是短除法，或者叫倒除法，我们进行进制转换时也会用到这种方法

所以我想利用短除法写出代码来表示，也是给大家提供一种不同的思考方式

那么什么是短除法：

假设我们输入 m=12，n=18 ，初始化最大公约数 gcd=1

我们发现 2 是12和18的一个公因子

我们令 m /= 2 ，n /= 2 ，gcd *= 2 

现在 m == 6 ,  n == 9 ,  gcd == 2

又发现 3 是 6 和 9 的一个公因子

我们令 m /= 3 ,  n /= 3 ,  gcd *= 3

现在m == 2 ,  n == 3 ,  gcd == 6

我们找不到除 1 以外的 2 和 3 的公因子了

所以现在的 gcd == 6 就是我们要找的最大公因数

而最小公倍数 lcm = gcd * m * n = 6 * 2 * 3 = 36

图片：

参考代码:

#include <stdio.h>
int main()
{
    int m, n;
    int j, k;
    int lcm, gcd = 1;
    scanf("%d %d", &m, &n); //输入m和n
    j = m, k = n;           //用j和k表示m和n，不破坏m与n的值
    if (j > k)
    {
        j = n, k = m; //确保j是较小的那个
    }
    for (int i = 2; i <= j; i++) //循环寻找从i到j的因子（注意j是可变的，而i会被重置）
    {
        if (j % i == 0 && k % i == 0) //判断i是否为j和k的公因子
        {
            j /= i;
            k /= i;   //j与k分别除以i
            gcd *= i; //gcd乘以i
            i = 1;    //将i重置为1 （循环末尾会i++）
        }
    }
    lcm = gcd * j * k;         //求出最小公倍数lcm
    printf("%d %d", gcd, lcm); //输出gcd与lcm
    return 0;
}

看了评论区的诸多意见，决定重写这份时隔一年的代码：

//短除法求公约公倍 
#include <stdio.h>

int main() {
	int m, n;
	scanf("%d %d", &m, &n); 
	int gcd = 1;
	for (int i = 2; i <= m && i <= n; i++) {
		while (m % i == 0 && n % i == 0) { 
			m /= i;
			n /= i;
			gcd *= i;
		}
	}
	printf("%d %d\n", gcd, m * n * gcd);
	return 0;
}

短除法可能便于理解，但效率其实并不理想，时间复杂度可以达到O(n)（当输入质数时）

而辗转相除法被推断出时间复杂度为 O(log(n))

所以还是建议使用辗转相除法，代码量少且运算速度快：

//辗转相除法求公约公倍 
#include <stdio.h>

int gcd(int a, int b) {
	return (a % b == 0) ? b : gcd(b, a % b); 
}

int main() {
	int m, n;
	scanf("%d %d", &m, &n); 
	int ans = gcd(m, n);
	printf("%d %d\n", ans, m * n / ans);
	return 0;
}