动态规划（01背包）

01背包这个算法是用来解决1100：采药这类题的。所以举采药这个例子。

1100：采药

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入

输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

                                                                                    算  法

        如果这道题直接暴力枚举每一种情况，n种药就有2^n种情况，时间复杂度会达到可怕的O(2^n)，对于这道题而言，1sec不够进行这么多次运算，我试过这样做会超时。所以应该尝试其他算法。而动态规划这种方法把时间复杂度降到了O(n*T)。n是药品数，T是总时间。

        首先开辟一个二维数组dp[n][T],dp[i][t]是指前i种药在时间t内的最大价值（0<=i<=n,0<=t<=T）和两个一维数组，一个是val[n],每种药品的价值，另一个是time[n]采每种药品的时间。

        然后对dp进行初始化，当i=0时，无论t是多少，dp都是0,为什么呢？i=0的意思是前0件药品，也就是没有药品，无论有多少时间，价值都是0。

        其次就是计算dp数组的其他元素了。分为两种情况：

                1，不采第i件药品，那么这就变成在时间t内，前i-1件药品的最大价值，也就是dp[i][t]=dp[i-1][t],其中0<=t<=T。

                2，采第i件药品，那么这就变成前i-1件药品在时间t-time[i]内所能获得的最大价值，

                     也就是dp[i-1][t-time[i]]+val[i]，当然time[i]不能大于t。

        由这两种情况可以得出

                dp[i][t]=max{dp[i-1][t],dp[i-1][t-time[i]]+val[i]}，也就是两种情况的最大值。

                    （1<=i<=n,time[i]<=t<=T）

              然后根据dp[0][t]来推dp[1][t],dp[2][t]……最终的答案就是dp[n][T]。

代码优化：

        细心的你是否发现计算第i行数据时只用第i-1行数据，前面的i-2行数据都没用，那么二维数组就可以简化为一维数组了。

那么公式就可以写成

                dp[t]=max{dp[t],dp[t-time[i]]+val[i]}

                    (1<=i<=n,time[i]<=t<=T)

        特别要注意的是计算dp[t]的时候，t要从T递减到0，不能弄反了，反了就是另一个问题的算法。

这样一简化时间复杂度没有变化，空间复杂度从O(n*T)变成了O(T)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
    int dp[1000];
    int T,num;//总时间，总药数 
    int time[100];//采药时间 
    int val[100];//药价 
    scanf("%d%d",&T,&num);
    fill(dp,dp+T+1,0);
    for(int i=1;i<=num;i++)
	    scanf("%d%d",&time[i],&val[i]);
    for(int i=1;i<=num;i++)
	    for(int t=T;t>=0;t--)
        if(time[i]<=t)
		    dp[t]=max(dp[t],dp[t-time[i]]+val[i]);
    printf("%d\n",dp[T]);
    return 0;
}