排序3

6.归并排序

       归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

合并过程为：比较a[i]和a[j]的大小，若a[i]≤a[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；否则将第二个有序表中的元素a[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。归并排序的算法我们通常用递归实现，先把待排序区间[s,t]以中点二分，接着把左边子区间排序，再把右边子区间排序，最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[s,t]。

【程序实现】

void msort(int s,int t)
{
    if(s==t) return;              //如果只有一个数字则返回，无须排序
    int mid=(s+t)/2;
    msort(s,mid);                //分解左序列
    msort(mid+1,t);            //分解右序列
    int i=s, j=mid+1, k=s;   //接下来合并
    while(i<=mid && j<=t)
    {
          if(a[i]<=a[j])  
          {
                r[k]=a[i]; k++; i++;
           }else{
                        r[k]=a[j]; k++; j++;
                    }
      }  
      while(i<=mid)               //复制左边子序列剩余
      {
           r[k]=a[i]; k++; i++;
       }
       while(j<=t)                   //复制右边子序列剩余  
       {
            r[k]=a[j]; k++; j++;
        }
        for(int i=s; i<=t; i++) a[i]=r[i];  
        return 0;
}

归并排序的时间复杂度是O(nlogn)，速度快。同时，归并排序是稳定的排序。即相等的元素的顺序不会改变。如输入记录 1(1) 3(2) 2(3) 2(4) 5(5) (括号中是记录的关键字)时输出的 1(1) 2(3) 2(4) 3(2) 5(5) 中的2 和 2 是按输入的顺序。这对要排序数据包含多个信息而要按其中的某一个信息排序,要求其它信息尽量按输入的顺序排列时很重要，这也是它比快速排序优势的地方。

7.逆序对

       上述提到归并排序是稳定的排序，相等的元素的顺序不会改变，进而用其可以解决逆序对的问题。首先我们了解一下什么是逆序对。

       逆序对：设 A 为一个有 n 个数字的有序集 (n>1)，其中所有数字各不相同。如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，则 <A[i], A[j]> 这个有序对称为 A 的一个逆序对，也称作逆序数。

        例如，数组（3，1，4，5，2）的逆序对有(3,1),(3,2),(4,2),(5,2)，共4个。

        所谓逆序对的问题，即对给定的数组序列，求其逆序对的数量。

        从逆序对定义上分析，逆序对就是数列中任意两个数满足大的在前，小的在后的组合。如果将这些逆序对都调整成顺序（小的在前，大的在后），那么整个数列就变的有序，即排序。因而，容易想到冒泡排序的机制正好是利用消除逆序来实现排序的，也就是说，交换相邻两个逆序数，最终实现整个序列有序，那么交换的次数即为逆序对的数量。

        冒泡排序可以解决逆序对问题，但是由于冒泡排序本身效率不高，时间复杂度为O(n^2)，对于n比较大的情况就没用武之地了。我们可以这样认为，冒泡排序求逆序对效率之所以低，是因为其在统计逆序对数量的时候是一对一对统计的，而对于范围为n的序列，逆序对数量最大可以是(n+1)*n/2，因此其效率太低。那怎样可以一下子统计多个，而不是一个一个累加呢？这个时候，归并排序就可以帮我们来解决这个问题。

       在合并操作中，我们假设左右两个区间元素为:

       左边：{3 4 7 9}                右边：{1 5 8 10}

       那么合并操作的第一步就是比较3和1，然后将1取出来，放到辅助数组中，这个时候我们发现，右边的区间如果是当前比较的较小值，那么其会与左边剩余的数字产生逆序关系，也就是说1和3、4、7、9都产生了逆序关系，我们可以一下子统计出有4对逆序对。接下来3，4取下来放到辅助数组后，5与左边剩下的7、9产生了逆序关系，我们可以统计出2对。依此类推，8与9产生1对，那么总共有4+2+1对。这样统计的效率就会大大提高，便可较好的解决逆序对问题。

而在算法的实现中，我们只需略微修改原有归并排序，当右边序列的元素为较小值时，就统计其产生的逆序对数量，即可完成逆序对的统计。

【程序实现】

void msort(int s,int t)
{
    if(s==t) return;                  //如果只有一个数字则返回，无须排序
    int mid=(s+t)/2;
    msort(s,mid);                   //分解左序列
    msort(mid+1,t);                //分解右序列
    int i=s, j=mid+1, k=s;       //接下来合并
    while(i<=mid && j<=t)
    {
        if(a[i]<=a[j]) 
        {     r[k]=a[i]; k++; i++;
        }else{
                    r[k]=a[j]; k++; j++;  
                     ans+=mid-i+1;  //统计产生逆序对的数量
                 }
    }
    while(i<=mid)                   //复制左边子序列剩余
    {
         r[k]=a[i]; k++; i++;
    }
    while(j<=t)                         //复制右边子序列剩余
    {
         r[k]=a[j]; k++; j++;
    }
    for(int i=s; i<=t; i++) a[i]=r[i];
    return 0;
}

其中ans+=mid-i+1这句代码统计新增逆序对的数量，ans作为全局变量，用于统计逆序对的数量，此时ans要增加左边区间剩余元素的个数。当归并排序结束后，逆序对问题也得到解决，ans即为逆序对的数量。

8.各种排序算法的比较

1.稳定性比较

       插入排序、冒泡排序、二叉树排序、二路归并排序及其他线形排序是稳定的。

       选择排序、希尔排序、快速排序、堆排序是不稳定的。

2.时间复杂性比较

       插入排序、冒泡排序、选择排序的时间复杂性为O(n2)；快速排序、堆排序、归并排序的时间复杂性为O(nlog2n)；桶排序的时间复杂性为O(n);

       若从最好情况考虑，则直接插入排序和冒泡排序的时间复杂度最好，为O(n)，其它算法的最好情况同平均情况相同；若从最坏情况考虑，则快速排序的时间复杂度为O(n2)，直接插入排序和冒泡排序虽然平均情况相同，但系数大约增加一倍，所以运行速度将降低一半，最坏情况对直接选择排序、堆排序和归并排序影响不大。

       由此可知，在最好情况下，直接插入排序和冒泡排序最快；在平均情况下，快速排序最快；在最坏情况下，堆排序和归并排序最快。

3.辅助空间的比较

       桶排序、二路归并排序的辅助空间为O(n)，快速排序的辅助空间为O(log2n)，最坏情况为O(n)，其它排序的辅助空间为O(1);

4.其它比较

       插入、冒泡排序的速度较慢，但参加排序的序列局部或整体有序时，这种排序能达到较快的速度。反而在这种情况下，快速排序反而慢了。

       当n较小时，对稳定性不作要求时宜用选择排序，对稳定性有要求时宜用插入或冒泡排序。

       若待排序的记录的关键字在一个明显有限范围内时,且空间允许是用桶排序。

       当n较大时，关键字元素比较随机，对稳定性没要求宜用快速排序。

       当n较大时，关键字元素可能出现本身是有序的，对稳定性没有要求时宜用堆排序

　   快速排序是目前基于比较的内部排序中被认为是最好的方法，当待排序的关键字是随机分布时，快速排序的平均时间最短；

堆排序所需的辅助空间少于快速排序，并且不会出现快速排序可能出现的最坏情况。这两种排序都是不稳定的。